Сергей Александрович Клячев родился 22 апреля 1989 года в городе Брянске.

В 2008 году был призван на военную службу по призыву в Президентский полк. Служил на должности стрелка 7-й роты 2-го батальона. Награждён нагрудным знаком «Отличник Президентского полка».

В 2010 году продолжил службу в 21-й отдельной бригаде оперативного назначения (Софринская бригада) на должности командира стрелкового отделения.

С 2016 года служил по контракту в 144-й гвардейской мотострелковой дивизии 20-й гвардейской общевойсковой армии Западного военного округа (г. Клинцы) на должности начальника тренажёра — инструктора полигона войсковой части 12721.

Погиб 13 марта 2022 года в городе Изюм Харьковской области, выполняя боевую задачу в зоне Спецоперации.

Указом Президента Российской Федерации гвардии сержант Клячев Сергей Александрович награждён орденом Мужества (посмертно).